Binary fast exponentiation method

Question

Evaluate $17^{93} \mod 23$

\begin{align}e &= 93\\ &= 1 × 2^6 + 0 × 2^5 + 1 × 2^4+ 1 × 2^3 + 1 × 2^2 + 0 × 2^1 + 1 × 2^0\\ &= |\ 1011101\ |_2 \end{align} Then we have: \begin{align}17^{93} \mod 23 &= (((((((17^1 )^2 17^0 )^2 17^1 )^2 17^1 )^2 17^1 )^2 17^0 )^2 17^1\\ &= (((17^4 17)^2 17)^2 17)^4 17 \text{ $\leftarrow$ step 3}\\ &= 21 \end{align}

How do we go from step 3 to final answer? What are the theorems used?

Answer 1

This is just a modular multiplication : \begin{align}17^{93} \mod 23 &= (((((((17^1 )^2 17^0 )^2 17^1 )^2 17^1 )^2 17^1 )^2 17^0 )^2 17^1\\ &= (((((17^2)^2 17)^2 17)^2 17)^2)^2 17 \text{ $\leftarrow$ step 3}\\ &= (((((289 \bmod\ 23)^2 17)^2 17)^2 17)^2)^2 17\\ &= ((((13^2 17)^2 17)^2 17)^2)^2 17\\ &= (((((169 \bmod\ 23) 17)^2 17)^2 17)^2)^2 17\\ &= ((((8 \times 17)^2 17)^2 17)^2)^2 17\\ &= ((((136 \bmod 23)^2 17)^2 17)^2)^2 17\\ &= (((21^2 17)^2 17)^2)^2 17\\ &= ((((441\ \bmod\ 23) 17)^2 17)^2)^2 17\\ &= (((4 \times 17)^2 17)^2)^2 17\\ &= etc..\\ &= 21 \end{align}