From TRUTH TABLE to ANF
First write [6, 4, 7, 8, 0, 5, 2, 10, 14, 3, 13, 1, 12, 15, 9, 11] in that way: the columns of matrix are those numbers in $\mathbb{F_2^4}$.
$$
\begin{bmatrix}
0&0&1&0&0&1&0&0&0&1&1&1&0&1&1&1\\
1&0&1&0&0&0&1&1&1&1&0&0&0&1&0&1\\
1&1&1&0&0&1&0&0&1&0&1&0&1&1&0&0\\
0&0&0&1&0&0&0&1&1&0&1&0&1&1&1&1
\end{bmatrix}
$$
Then multiply it with Moebius transformation matrix :
$$
M_1 = \begin{bmatrix}
1
\end{bmatrix},
M_2 = \begin{bmatrix}
1&1\\
0&1
\end{bmatrix}, \cdots,
M_{2^k} = M_2 \otimes M_{2^{k-1}} = \begin{bmatrix}
M_{2^{k-1}}&M_{2^{k-1}}\\
0&M_{2^{k-1}}
\end{bmatrix}.
$$
So for $k=4$,
the matrix is:
$$ \begin{bmatrix}
1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 \\
0 &1 &0 &1 &0 &1 &0 &1 &0 &1 &0 &1 &0 &1 &0 &1 \\
0 &0 &1 &1 &0 &0 &1 &1 &0 &0 &1 &1 &0 &0 &1 &1\\
0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 &1\\
0 &0 &0 &0 &1 &1 &1 &1 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &1 &1\\
0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &1\\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1\\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1\\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &1 &0 &1 &0 &1\\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0 &0 &1 &1\\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 &1\\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &1 &1\\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &1\\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1\\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1
\end{bmatrix}
$$
Then you have this matrix:
$$
\begin{bmatrix}
0&0&1&1&0&1&1&0&0&1&0&0&0&1&1&0\\
1&1&0&0&1&1&1&0&0&1&1&0&0&0&0&0\\
1&0&0&1&1&1&0&0&0&1&0&1&1&0&1&0\\
0&0&0&1&0&0&0&0&1&1&0&1&0&1&0&0
\end{bmatrix}
$$
Each row gives the coordinate function $S_1,S_2,S_3$and $S_4$ resp.
The entries of each row are the coefficients of $1, x_0, x_1, x_0x_1, x_2, x_0x_2, x_1x_2, x_0x_1x_2, x_3, x_0x_3, x_1x_3, x_0x_1x_3, x_2x_3, x_0x_2x_3, x_1x_2x_3, x_0x_1x_2x_3$.
From ANF to TRUTH TABLE (TT)
Exactly the inverse of operations. Note that $M_{2^k}^{-1}=M_{2^k}$ for any $k$.
i.e. [TT] * $[M]$ = [ANF] and [TT] = [ANF] * $[M]$.
Note: The arithmetics are taken modulo 2.